interlude: a tribute to “E”
Για λόγους που θα γίνουν φανεροί, αισθάνομαι την ανάγκη για μια μικρή απόδοση τιμών στον Επιμενίδη.
Ο Επιμενίδης από την Κνωσσό έζησε τον 6ο αιώνα π.Χ. και ήταν φιλόσοφος και προφήτης. Οι Κρητικοί εκείνη την περίοδο θεωρούσαν το Δία θνητό. Θα θυμάστε από το σχολίο το μύθο ότι κάθε χρόνο ο Δίας πέθαινε και γεννιόταν στην Ίδη, ή κάπου εκεί πέρα τέλος πάντων. Ergo, θνητός. Του Επιμενίδη αυτό του την έσπαγε, γιατί ο ίδιος θεωρούσε ότι ο Δίας ήταν αθάνατος, γεγονός που αν γινόταν αποδεκτό από το γενικό πληθυσμό θα ανέβαζε τρομερά τις προοπτικές επαγγελματικής ανέλιξης των προφητών του Δία και συγκεκριμένα του Επιμενίδη.
Έτσι ο Ε. έγραψε ένα ποιηματάκι στο οποίο έλεγε (σε ελεύθερη απόδοση) ότι “Ω Δία, τι γαμάτος που είσαι, οι Κρητικοί λένε ότι είσαι θνητός, αλλά όλοι οι Κρητικοί είναι ψεύτες” (Κρῆτες ἀεί ψεύσται).
Δύο σημαντικά points:
- Όπως έχει γίνει φανερό από τα συμφραζόμενα, ο Επιμενίδης εννοούσε “όλοι οι Κρητικοί εκτός από εμένα…”. Και στην πραγματικότητα όλοι οι αποδέκτες του μηνύματος, από τους Κρητικούς του 6ου αιώνα μέχρι τους ποιητές της ύστερης αρχαιότητας που τσιτάρουν Επιμενίδη, κατάλαβαν ακριβώς αυτό.
- Ευτυχώς, φαίνεται πως αν προσέθετε το “πλην εμού” δε θα του έβγαινε το μέτρο, οπότε αυτό που θα έμενε στην ιστορία σαν Το Μεγάλο Χεσίδι του Επιμενίδη Προς τους Κρητικούς, έμεινε τελικά στην ιστορία σαν Το Παράδοξο του Επιμενίδη.
Το Παράδοξο του Επιμενίδη, είναι το εξής:
- Ο Επιμενίδης λέει ότι όλοι οι Κρητικοί λένε ψέματα.
- Ο Επιμενίδης είναι Κρητικός.
- Άρα ο Επιμενίδης λέει ψέματα.
- Άρα οι Κρητικοί λένε αλήθεια.
- Άρα ο Επιμενίδης λέει αλήθεια.
- Άρα οι Κρητικοί λένε ψέματα.
- Άρα ο Επιμενίδης λέει ψέματα.
- Άρα οι Κρητικοί λένε αλήθεια.
- Άρα…
Νομίζω πως το πιάνετε: η πρόταση του Επιμενίδη είναι αδύνατον να αποδειχθεί αληθής ή ψευδής, στα πλαίσια της Λογικής (στα πλαίσια δηλαδή ενός τυπικού συστήματος). Οποιαδήποτε απόπειρα απόδειξης σε αυτά τα πλαίσια είναι καταδικασμένη να μην τερματίσει ποτέ, χώρια που οδηγεί σε δύο ασύμβατα συμπεράσματα (”ο Επιμενίδης λέει αλήθεια”, “ο Επιμενίδης λέει ψέματα”).
Κοινώς, Μέγας Μάγκας (έστω και κατά λάθος) ο Επιμενίδης. Ήθελε να ξεχέσει τους συμπατριώτες του με στυλ, και του προέκυψε παρεμπιπτόντως ένα Θεμελιώδες Πρόβλημα του Φορμαλισμού. Αυτό, κυρίες και κύριοι, γίνεται μια φορά στα 1000 χρόνια και άμα.
(2b continued)
February 10th, 2006 at 3:24 pm
σοβαρά τώρα, το συγκεκριμένο πρόβλημα με είχε τρελάνει μια περίοδο και αυτό είναι ένα πολύ ωραίο ποστ. Τα συγχαρήκια μου!
February 10th, 2006 at 3:55 pm
This sentence is false
February 10th, 2006 at 4:05 pm
Νομίζω ότι μπορούμε να ξεφύγουμε από το παράδοξο έτσι όπως είναι διατυπωμένο. Μήπως θα ήταν σωστότερο η πρώτη πρόταση να είναι: «Ο Επιμενίδης λέει ότι όλοι οι Κρητικοί λένε ΠΑΝΤΑ ψέμματα»;
February 10th, 2006 at 4:44 pm
Αχαχαχα…μου θύμισε λιγάκι το εξής :
O j95 λέει : δεν είμαι ο βάτραχος.
Ο j95 γράφει στο don’t kiss the frog.
Άρα ο j95 λέει ψέμματα.
Άρα το don’t kiss the frog λέει αλήθεια.
Άρα ο j95 λέει αλήθεια.
Άρα το don’t kiss the frog λέει ψέμματα.
Άρα ο j95 λέει ψέμματα.
Το καλό με αυτό το παράδοξο είναι ότι σταματάς σε όποιο σημείο γουστάρεις. Σταματάω λοιπόν, ακριβώς σ΄αυτήν την πρόταση που με συμφέρει.
February 10th, 2006 at 4:57 pm
Αυτό ταιριάζει κάπως με το παράδοξο της ετερολογίας. Μια έκφραση είναι ετερολογική αν και μόνο αν δεν αναφέρεται στον εαυτό της και αυτολογική αν και μόνο αν αναφέρεται. Για παράδειγμα, “αυτή είναι μια πορτογαλική φράση” ή “αυτή η φράση έχει 52 λέξεις” είναι ετερολογικές, ενώ “αυτή είναι μια ελληνική φράση” ή “αυτή η φράση περιέχει τη λέξη φράση” είναι αυτολογικές.
Είναι η φράση “είμαι ετερολογική” ετερολογική; Αν είναι ετερολογική, τότε δεν αναφέρεται στον εαυτό της και άρα είναι. Αν δεν είναι, αναφέρεται στον εαυτό της, άρα είναι ετερολογική. Με άλλα λόγια, είναι ετερολογική αν και μόνο αν δεν είναι.
February 10th, 2006 at 8:52 pm
..Ω Δία, τι γαμάτος που είσαι, ..
χαχαχαχα
εντάξει έγραψες,,,τι να λέμε τώρα…bring it on!
February 10th, 2006 at 11:40 pm
Για μια στιγμή… (ο κρητικός μέσα μου θίχτηκε! ;-p)
@ j95
Λες: ‘η πρόταση του Επιμενίδη είναι αδύνατον να αποδειχθεί αληθής ή ψευδής, στα πλαίσια της Λογικής (στα πλαίσια δηλαδή ενός τυπικού συστήματος). Οποιαδήποτε απόπειρα απόδειξης σε αυτά τα πλαίσια είναι καταδικασμένη να μην τερματίσει ποτέ, χώρια που οδηγεί σε δύο ασύμβατα συμπεράσματα (”ο Επιμενίδης λέει αλήθεια”, “ο Επιμενίδης λέει ψέματα”).’
Θα πρέπει να επισημάνεις ότι αναφέρεσαι στην boolean logic, αλλιώς, στα πλάισια της fuzzy logic, η συγκεκριμένη πρόταση έχει truth value ίσο με 1/2, με άλλα λόγια, το πρόβλημα έχει συγκεκριμένη λύση.
@ lefty
Λες: ‘Αυτό ταιριάζει κάπως με το παράδοξο της ετερολογίας. Μια έκφραση είναι ετερολογική αν και μόνο αν δεν αναφέρεται στον εαυτό της και αυτολογική αν και μόνο αν αναφέρεται. Για παράδειγμα, “αυτή είναι μια πορτογαλική φράση” ή “αυτή η φράση έχει 52 λέξεις” είναι ετερολογικές, ενώ “αυτή είναι μια ελληνική φράση” ή “αυτή η φράση περιέχει τη λέξη φράση” είναι αυτολογικές.’
Νομίζω πως δεν έχεις δίκιο. Αυτολογική (ή αυτοαναφορική) λέγεται μια πρόταση η οποία κάνει ένα statement για τον εαυτό της, άσχετα από το αν το statement αυτό είναι ψευδές η αληθές. Δηλαδή και η “Αυτή η πρόταση έχει έξι λέξεις.” και η “Αυτή η πρόταση έχει επτά λέξεις.” είναι αυτοαναφορικές προτάσεις, παρότι η δεύτερη είναι ψευδής.
Γενικά, το γύρισμα του νοηματικού περιεχομένου μιας πρότασης στον ίδιο της τον εαυτό γίνεται μέσω της φράσης “Αυτή η πρόταση…” ή κάποιας παρόμοιας (Υπάρχει και ή μέθοδος του Quine, π.χ. “Yields falsehood when preceeded by its quotation” yields falsehood when preceeded by its quotation, αλλά αυτό είναι πιο μπερδεμένη ιστορία).
Όμως, για να λέμε και του Επιμενίδη το δίκιο, αυτό δεν συνεπάγεται και το ανάποδο. Δηλαδή, δεν είναι αυτοαναφορική κάθε πρόταση που περιέχει τη φράση “Αυτή η πρόταση…”. Το “Αυτή” δεν είναι σαφές ποια πρόταση “δείχνει”.
Όταν η πρόταση είναι ξεμοναχιασμένη, όπως το “Αυτή η πρόταση είναι ψευδής.”, εύκολα συμπεραίνουμε ότι έχουμε να κάνουμε με μια αυτοαναφορική πρόταση. Όμως, παρατήρησε το ακόλουθο απόσπασμα από ένα υποθετικό κείμενο: “…το βιβλίο, μεταξύ άλλων, ανέφερε πως ‘Η Γη είναι επίπεδη.’. Αυτή η πρόταση είναι ψευδής.”. Τούτη τη φορά, η πρόταση “Αυτή η πρόταση είναι ψευδής.” “δείχνει” την προηγούμενή της και όχι τον εαυτό της, είναι δηλαδή ετερολογική πρόταση.
@ j95 (ξανά)
Με γεια το νέο URL, αλλά έχω κι ένα παράπονο. Τώρα είναι ανοιχτό το ενδεχόμενο πλαστογράφησης σχολίων αφού μπορεί ο οποιοσδήποτε να υπογράψει ως οποιοσδήποτε άλλος στα σχόλια.
Tero
February 11th, 2006 at 2:33 am
Τero, στη βρετανική ορολογία είναι σίγουρα έτσι, το θυμάμαι από τα χρόνια του πανεπιστημίου. Heterological expressions είναι αυτές που δε βρίσκουν εφαρμογή στον εαυτό τους, π.χ. “είναι μονοσύλλαβη”. Δεν είμαι ακριβώς βέβαιος για το πώς μεταφράζεται αυτό στα ελληνικά, τώρα που το σκέφτομαι ίσως να μην υφίσταται καν λέξη “αυτολογικός”.
Anyway, ένα από τα πιο ενδιαφέροντα παράδοξα που θυμάμαι είναι το “Paradox of Omniscience” κατά το οποίο κανένας, ούτε καν ο Απόλυτος Γνώστης, δεν μπορεί να κατέχει Όλες τις Αλήθειες. Αν και νομίζω πως τελικά το πρόβλημα με τη λέξη παράδοξο είναι ο ίδιος ο ορισμός της.
February 11th, 2006 at 4:16 am
@ lefty
Μου κάνει μεγάλη εντύπωση… Δεν αμφισβητώ ότι αυτό διδάσκουν, αλλά και πάλι… Ο χαρακτηρισμός ως ετερολογικών των προτάσεων που δεν μπορούν να βρουν εφαρμογή στον εαυτό τους και ΜΟΝΟ αυτών, μου ακούγεται σαν απεγνωσμένη προσπάθεια να αποφύγουν την θεώρηση παράδοξων της boolean logic, όπως αυτό του Επιμενίδη, με το να επαναπαύονται στην υπόθεση ότι τέτοιες προτάσεις είναι αληθείς όταν αναφέρονται σε άλλες προτάσεις.
Για να γίνω πιο συγκεκριμένος, ας δώσω ένα παράδειγμα.
Η πρόταση “Αυτή η πρόταση έχει εφτά λέξεις.” δεν μπορεί να λέει αλήθεια για τον εαυτό της, άρα αυτοί θα την χαρακτηρίσουν ετερολογική, δηλαδή λέει την αλήθεια για μια άλλη πρόταση, π.χ. την “Αυτή τη στιγμή γράφω ένα μακρύ σχόλιο.”. Πίσω από μια τέτοια άποψη και μια τέτοια μέθοδο αντιμετώπισης των παραδοξολογικών προτάσεων, υποθέτω ότι κρύβεται μια πεποίθηση ότι κάθε προταση μπορεί να λέει την αλήθεια για κάτι, ότι οποιοσδήποτε λογικός συνδυασμός λέξεων, μέσα στο κατάλληλο context, θα εκφράζει μια αλήθεια…
…πράγμα με το οποίο διαφωνώ, διότι ιδού ένα αντιπαράδειγμα:
“Αυτή η πρόταση δεν υπάρχει.”
Αν την πάρουμε σαν αυτοαναφορική, φυσικά και είναι ψευδής, το ενδιαφέρον όμως είναι ότι δεν μπορεί να λέει την αλήθεια και για οποιαδήποτε άλλη πρόταση. Σε οποιαδήποτε πρόταση κι αν “δείχνει” το “Αυτή”, η παραπάνω πρόταση είναι ψευδής. Τι είναι λοιπόν αυτή η πρόταση αφού δεν είναι ούτε αυτολογική ούτε ετερολογική;
@ j95
κι άλλο meta-comment:
Η μετακόμιση του blog σου έφερε μια αναπάντεχη ανακατωσούρα στο εσωτερικό του, συγκεκριμένα, στα σχόλια. Εμφανίζονται με τελείως λάθος σειρά, ανησυχητικά συχνά.
Tero
February 11th, 2006 at 4:33 am
Επί της ουσίας έχω την αίσθηση πως έχεις δίκιο, μα δε νομίζω πως κρύβεται κάπου μια τέτοια πεποίθηση, απλώς αυτή είναι η ερμηνεία της λέξης “ετερολογικός” στην αγγλοσαξονική βιβλιογραφία, δηλ. το “αυτή” αφορά την ίδια την πρόταση.
Τι είναι λοιπόν αυτή η πρόταση αφού δεν είναι ούτε αυτολογική ούτε ετερολογική;
Ούτε αυτολογική, ούτε ετερολογική. Νομίζω πως μόλις έδωσες ένα πολύ καλό παράδειγμα “παραδοξολογικής” πρότασης.
February 11th, 2006 at 4:44 am
(To set it straight, παραδοξολογική με τη δική σου ερμηνεία, διότι αν αναφέρεται στον εαυτό της είναι ετερολογική).
February 11th, 2006 at 8:32 am
Κατά τη γνώμη μου, αυτό το πρόβλημα του Επιμενίδη λύνετε πάρα πολύ εύκολα με τη θεωρία των συνόλων. Σε ένα γενικό σύνολο από κρητικούς, έχουμε επιμέρους σύνολα από κρητικούς που είναι ψεύτες και άλλους που δεν είναι. Ο Επιμενίδης είναι μέλος ενός υποσυνόλου, οπότε δεν του πέφτει λόγος να κρίνει το γενικότερο σύνολο. Μόνον ένας που βρίσκετε εκτός του γενικότερου συνόλου μπορεί να έχει πλήρεις εικόνα όλου του συνόλου και βεβαίως και γνώση για τα επιμέρους υποσύνολα. Αυτός θα δει με την πρώτη κιόλας ματιά ότι στο σύνολο «Κρητικοί» υπάρχουν δύο (τουλάχιστον) σύνολα από ψεύτες και μη-ψεύτες.
February 11th, 2006 at 11:27 am
J95 said: Για λόγους που θα γίνουν φανεροί, αισθάνομαι την ανάγκη για μια μικρή απόδοση τιμών στον Επιμενίδη.
Έχω μια υποψία για τους λόγους που θα γίνουν φανεροί. Αν στο επόμενο post έχεις προτάσεις του τύπου “Όλοι οι μουσουλμάνοι [...]“, μη ξεχάσεις να συμπεριλάβεις και αυτούς
Μπορεί βέβαια να μαντεύω και εντελώς λάθος…
February 11th, 2006 at 2:00 pm
Αφού εξαντλήσεις το παράδοξο του Επιμενίδη, δέον να ασχοληθείς και με τα κάτωθι, τέκνον j95:
1. Τον διπλασιασμό του κύβου
2. Την τριχοτόμηση της γωνίας
3. Τον τετραγωνισμό του κύκλου
4. Την αλληλουχία των εποχών ως τηλεοπτικό φαινόμενο
5. Την ζωή πριν τον θάνατο.
February 11th, 2006 at 5:19 pm
Κατά τη γνώμη μου, αυτό το πρόβλημα του Επιμενίδη λύνετε πάρα πολύ εύκολα με τη θεωρία των συνόλων.
Ναι ρε παιδί μου, είπαμε ότι λύνεται πολύ εύκολα ακόμα και με το να λάβουμε υπόψη τι ακριβώς εννοούσε.
Το θέμα όμως είναι ότι δε λύνεται στα πλαίσια του συστήματος της αριστοτελικής λογικής, στο οποίο μία πρόταση μπορεί να είναι είτε αληθής είτε ψευδής.
February 11th, 2006 at 6:51 pm
.
Σχετικό άρθρο-σχόλιο του Economist.
Tero
February 11th, 2006 at 6:56 pm
Κάτι δεν πάει καλά με τα tags… η τελεία στο πιο πάνω σχόλιο είναι link και οδηγεί σε μια επιστημονική δημοσίευση πάνω στην fuzzy logic και στην χρήση της στην επίλυση παράδοξων, όπως αυτό του Επιμενίδη κ.ά..
Tero