8 Responses to “f(x) = g(f(h(x))) => Runtime Error”

1. talos Says:
   February 23rd, 2006 at 4:27 pm

   J:Δεν είμαι σίγουρος για την κατάρριψη που λες. Ο ίδιος ο Γκέντελ ήταν καραπλατωνιστής και θεωρούσε το έργο του ως υποστηρικτικό του Πλατωνισμού του. Θεωρούσε πως αν υπάρχουν προτάσεις οι οποίες είναι αληθείς αλλά μη αποδείξιμες, αυτό έδειχνε πως η αλήθεια η μη των προτάσεων των μαθηματικών είναι ανεξάρτητη από την ικανότητά μας να τα αποδείξουμε, ότι στα μαθηματικά υπάρχουν αληθή πράγματα με απόλυτη έννοια, ότι οι μαθηματικές έννοιες δηλαδή έχουν ένα απόλυτο οντολογικό στάτους. Και υπάρχουν τέτοιες προτάσεις. Μια τέτοια είναι η πρόταση “Αυτή η πρόταση δεν είναι αποδείξιμη” (βλέπε παρακάτω). Σε παραπέμπω σε μια συνέντευξη μιας φιλοσόφου επί του θέματος, που συζητά το θέμα αναλυτικότερα με βάση την έρευνά της στις φιλοσοφικές πεποιθήσεις του Γκέντελ. Παραθέτω εκτενή αποσπάσματα προς διευκόλυνση της συζήτησης:

   Gödel was a mathematical realist, a Platonist. He believed that what makes mathematics true is that it’s descriptive—not of empirical reality, of course, but of an abstract reality. Mathematical intuition is something analogous to a kind of sense perception. In his essay “What Is Cantor’s Continuum Hypothesis?”, Gödel wrote that we’re not seeing things that just happen to be true, we’re seeing things that must be true. The world of abstract entities is a necessary world—that’s why we can deduce our descriptions of it through pure reason…

   …When he was a student, Gödel had been invited by Hans Hahn, one of his professors, to attend the legendary meetings of the logical positivists, what came to be know as the Vienna Circle. Sometimes Gödel is categorized as a logical positivist because of this early association. And it’s true that Gödel didn’t argue with them while he attended their meetings, held in a dismal room in the basement of the University of Vienna. But just because he chose not to argue doesn’t mean he didn’t vehemently disagree with them. A passionate Platonist must be profoundly at odds with logical positivists.Gödel mistrusted our ability to communicate. Natural language, he thought, was imprecise, and we usually don’t understand each other. Gödel wanted to prove a mathematical theorem that would have all the precision of mathematics—the only language with any claims to precision—but with the sweep of philosophy. He wanted a mathematical theorem that would speak to the issues of meta-mathematics. And two extraordinary things happened. One is that he actually did produce such a theorem. The other is that it was interpreted by the jazzier parts of the intellectual culture as saying, philosophically exactly the opposite of what he had been intending to say with it. Gödel had intended to show that our knowledge of mathematics exceeds our formal proofs. He hadn’t meant to subvert the notion that we have objective mathematical knowledge or claim that there is no mathematical proof—quite the contrary. He believed that we do have access to an independent mathematical reality. Our formal systems are incomplete because there’s more to mathematical reality than can be contained in any of our formal systems…

   Και για την αναπόδεικτη αλλά αληθή πρόταση που ανέφερα παραπάνω:

   Gödel appropriated this ancient form of paradox in order to produce a proposition which we can see is true precisely because we can see it’s unprovable. This proposition has a purely straightforward mathematical meaning but it’s also a proposition that speaks about itself. : The proposition is, in effect: “This very proposition is unprovable”. Is it true, or is it false? If it’s false, then its negation is true. Its negation says that the proposition is provable. So, assuming the system to be consistent, if this problematic double-speaking proposition is false, its negation is true, which would mean the problematic proposition itself is thus provable. So if it’s false it can’t be false. If it’s false it’s true. Therefore it has to be true. But unprovable!

   That’s how he does it. That’s the proposition that’s both true and unprovable. And remember that it has a strictly arithmetical meaning as well. That’s accomplished through the Gödel numbering. So he’s shown that in any consistent formal system of arithmetic there will be true but unprovable arithmetical propositions. A formal system of arithmetic is either going to be inconsistent or incomplete.

   Τέλος να σημειώσω ότι έχω παρατηρήσει πως η σύνδεση μεταξύ Αϊνστάιν και Γκέντελ που επιχειρεί, έχει μια παραξήγηση ελαφρώς απαράδεκτη για μια φιλόσοφο, αλλά αυτό δεν αναιρεί τα όσα λέεί για τις πεποιθήσεις του Γκέντελ.

   Συγγνώμη και για το κατεβατό…!

2. talos Says:
   February 23rd, 2006 at 4:29 pm

   Μού έφυγε το blockquote, αν δεν βαριέσαι διόρθωσέ το…

3. j95 Says:
   February 23rd, 2006 at 5:35 pm

   Δεν είμαι σίγουρος για την κατάρριψη που λες. Ο ίδιος ο Γκέντελ ήταν καραπλατωνιστής και θεωρούσε το έργο του ως υποστηρικτικό του Πλατωνισμού του.

   Α ναι, να το διευκρινήσουμε: Το ότι το μόνο λογικό συμπέρασμα που μπορεί να βγει από το Θ. Γκέντελ είναι “κρα στους πλατωνιστές” είναι δική μου άποψη. Επιπλέον θεωρώ πως ο Γκέντελ μαθηματικά ήταν γάτος, αλλά φιλοσοφικά δεν ήξερε που παν τα τέσσερα, γι’ αυτό και χαρακτηρίζω τα “πλατωνικά” του συμπεράσματα λίγο “παιδικά”. Κάτι σαν τον Κολόμβο που νόμιζε ότι ανακάλυψε το δυτικό δρόμο για τις Ινδίες.

4. j95 Says:
   February 23rd, 2006 at 5:42 pm

   Συγκεκριμένα το ότι υπάρχει περισσότερη μαθηματική πραγματικότητα από αυτήν των τυπικών συστημάτων, δε σημαίνει ότι αυτή (η έξτρα μαθηματική πραγματικότητα) δεν αντιστοιχεί και σε φυσική πραγματικότητα. Υπάρχουν βέβαια και τέτοια μαθηματικά (και τι έγινε; ), όμως δε νομίζω ότι χρειάζεται να φύγουμε από το πεδίο της περιγραφής της υλικής πραγματικότητας για να συναντήσουμε μαθηματικά που ξεπερνούν σε πολυπλοκότητα και περιγραφική δύναμη τα τυπικά συστήματα πρώτης τάξης.

5. lazopolis Says:
   February 24th, 2006 at 11:08 am

   Εγώ πάλι νομίζω οτι κρατάς πολύ μικρό τεσεκούρι! Το θεώρημα Godel έπληξε την προσπάθεια για αξιωματική θεμελίωση των μαθηματικών (της αριθμητικής για την ακρίβεια, στην οποία υποτίθεται οτι ανάγονται όλα τα υπόλοιπα). Η απαίτηση να έχεις ένα πλήρες και συνεπές σύστημα προτάσεων δεν έχει καμμιά σχέση (όπως το βλέπω εγώ) με κομψότητα και καθαρότητα. Δεν υπάρχει περιορισμός στον αριθμό των αξιωμάτων, π.χ.. Από την άλλη βέβαια, αν μπορείς να στήσεις ένα τέτοιο σύστημα καλό είναι να βρεις και τον ελάχιστο αναγκαίο αριθμό αξιωμάτων. Αυτό θα ήταν κομψότερο και βολικότερο.

   Αν, όπως λέει ο Godel, είναι αδύνατο να στήσεις ένα πλήρες και συνεπές τυπικό σύστημα, εμφανίζεται ένα μεγάλο πρόβλημα: η ισχύς κάποιων προτάσεων του συστήματος πρέπει να επικυρωθεί με κάποιο τρόπο από πληροφορία που έρχεται απ’έξω. Το πρόβλημα με τα μαθηματικά (σε αντίθεση με τη φυσική) είναι οτι δεν υπάρχει απ’έξω. Εμένα αυτό μου φαίνεται εξαιρετικά σκληρό ως συμπέρασμα, πολύ χειρότερο από το “κρα στους πλατωνιστές”. Ο μόνος λόγος για τον οποίον τα μαθηματικά επιβίωσαν είναι, νομίζω, οτι οι αποδεδειγμένα μη αποδείξιμες προτάσεις είναι εξαιρετικά σπάνιες και αρκετά αδιάφορες για τον κυρίως κορμό ωστε οι μαθηματικοί να κάνουν πως δεν τις βλέπουν . Αν τελικά προκύψει οτι η υπόθεση Riemann είναι μή αποδείξιμη, ας πούμε, το σοκ θα είναι ισχυρό.

   Επί τη ευκαιρία, η εκλαΐκευση της κυρίας είναι λίγο jazzy: αν η εν λόγω πρόταση Godel είναι μη αποδείξιμη τότε πώς ξέρουμε οτι είναι αληθής; Προφανώς δεν το ξέρουμε εντός του συστήματος, το ξέρουμε “κλέβοντας”: από προτάσεις εκτός αυτού. Αν η υπόθεση Riemann ή αυτή του Goldbach (οτι κάθε αριθμός είναι το άθροισμα δύο πρώτων - φαίνεται να ισχύει μέχρι αστρονομικά μεγάλα νούμερα) αποδειχθεί μή αποδείξιμη, πόσο σίγουροι θα είμαστε για την ισχύ τους;

   Τέλος θα μπορούσε κανείς να υπερασπιστεί τον Πλατωνισμό στα μαθηματικά (την άποψη οτι τα μαθηματικά θεωρήματα `υπάρχουν’ ανεξάρτητα από τους μαθηματικούς που τα αποδεικνύουν - ο θεός είναι extra downloadable plugin)
   για ώρες, δεδομένου μάλιστα του ότι οι περισσότεροι μαθηματικοί δουλεύουν ωσαν Πλατωνιστές ακόμα κι αν επισήμως το αρνούνται.

   Α, και στο mathworld λέει οτι αν αποδεχτεί κανείς την Transfinite Induction μπορεί να αποδείξει οτι η αριθμητική είναι πλήρης και συνεπής (αλλά δεν μπορεί να επεκτείνει την απόδειξη στα υπόλοιπα μαθηματικά)!

6. spithas Says:
   February 24th, 2006 at 4:19 pm

   j95 said:

   “Οι άνθρωποι είναι μυστήρια πλάσματα. Δως τους ένα τσεκούρι, και αρχίζουν παντού γύρω τους να βλέπουν λαιμούς εεε, σόρι, κούτσουρα ήθελα να πω. Φαίνεται πως πρόκειται για θεμελιώδες bug στο σχεδιασμό του ανθρώπου, που σημαίνει ότι αν υπήρξε σχεδιαστής ήταν λιγουλάκι απρόσεκτος.”

   Λίγο άσχετο ίσως αυτό που θα πω, αλλά μου θύμησες κάτι που είχα διαβάσει στο Mafia Manager, το γνωστό βιβλίο. Ήταν μια από τις συμβουλές που έδινε ο αρχιμαφιόζος προς “ναυτιλομένους”: “Όταν το μόνο όπλο που έχεις στη διάθεση σου είναι ένα σφυρί, αντιμετώπισε όλα τα προβλήματα σου σα να ήταν πρόκες”.

   Επίσης j95 said λίγο πιο κάτω:

   “Χαμός όπως καταλαβαίνετε στους μαθηματικούς κύκλους: “σκατά, τελικά ένα σύστημα είναι αδύνατον να είναι αρκετά ισχυρό ώστε να μπορεί να μοντελοποιήσει τα πάντα και ταυτόχρονα αυτοσυνεπές”. Χονδρικά είναι σαν οι Χριστιανοί να το έπαιρναν επιτέλους απόφαση ότι δε γίνεται κάποιος να είναι και Πανάγαθος και Παντοδύναμος. Τι να λέμε τώρα, ήταν μεγάλη ξενέρα.”

   Είναι κάτι αντίστοιχο με την αρχή της απροσδιοριστίας του Heisenberg, τον ακρογωνιαίο λίθο της κβαντικής φυσικής, έτσι δεν είναι? Αυτή η αδυναμία του να έχεις “και την πίτα ολόκληρη και τον σκύλο χορτάτο” φαίνεται να είναι εγγενές χαρακτηριστικό κι αναπόσπαστο συστατικό αυτού του τρελού κι ανισόρροπου σύμπαντος στο οποίο ζούμε. Αυτό που στα μαθηματικά εκφράζεται ως θεώρημα του Goedel στη Φυσική εκφράζεται ως αρχή της απροσδιοριστίας. Είναι σαν η ίδια η επιστήμη να αναγνωρίζει ότι η αυστηρή μαθηματική λογική είναι μεν πολύ χρήσιμη και πολύ πρακτική αλλά από μόνη της δεν αρκεί για να εξηγήσεις το σύμπαν, υπάρχει σαφής περιορισμός ως προς τις δυνατότητες της. Πιθανόν για να υπερβείς αυτή την εγγενή δυσκολία, χρειάζονται άλλου είδους μη-λογικές ή καλύτερα μεταλογικές προσεγγίσεις.

   Τουλάχιστον, έτσι το βλέπω εγώ (προς το παρόν)!

7. Tero Says:
   February 25th, 2006 at 6:29 am

   Spitha, έχεις δίκιο. Είναι πολύ λογική η νοητή σύνδεση μεταξύ Θεωρήματος μη Πληρότητας στα Μαθηματικά, και Αρχής Απροσδιοριστίας του Heisenberg στην Φυσική. Το περίεργο είναι ότι όποιος το έλεγε αυτό στον Gödel, τον έκανε “πυρ και μανία”, καθότι δεν είχε σε καθόλου καλή εκτίμηση την “θετικιστική ερμηνεία της Κοπεγχάγης για την κβαντομηχανική”, και άλλο τόσο τον Heisenberg.

   Ενδιαφέρουσα η παραπομπή του talos. Παρόμοια πράγματα με την Rebecca Goldstein υποστηρίζει και ο Palle Yourgrau, στο βιβλίο του “Ένας Κόσμος Δίχως Χρόνο”, δηλαδή μια σύνδεση μεταξύ Einstein και Gödel, η οποία δεν “στέκει” και τόσο. Ο Gödel ήταν Leibniz-ιστής, και κατ’ επέκτασιν, πλατωνιστής. Παρότι το Θεώρημα Μη Πληρότητας “απογοητεύει αυτούς που στα μαθηματικά ψάχνουν για υποκατάστατο του θεού”, που λέει κι ο j95, δηλαδή τους πλατωνιαστές, ο ίδιος ο Gödel δεν το είδε ως κάτι τέτοιο. Το είδε ως εξής: “Στα μαθηματικά υπάρχουν αλήθεις που ξεπερνούν εμάς και την ικανότητά μας να τις αποδεικνύουμε. Αυτό σημαίνει ότι τα μαθηματικά είναι φτιαγμένα από μια ανώτερη στόφα.”

   Είναι, νομίζω, θέμα οπτικής γωνίας, και ο Gödel σαφώς είχε μια ιδεαλιστική θεώρηση των πραγμάτων. Αξίζει να αναφερθεί το Οντολογικό Επιχείρημα του Gödel, μια “απόδειξη” περί της ύπαρξης δημιουργού του σύμπαντος που σηκώνει πολύ συζήτηση. Εδώ είναι που με απογοητεύει ο Gödel. Σαν μαθηματικός ήταν τρομερός αλλά σαν φιλόσοφος, ανεπιτυχής. Αν με διάβαζε ο Yourgrau, θα με έπαιρνε με τις πέτρες, καθώς στο βιβλίο του κάνει μια προσπάθεια α εξυψώσει τον Gödel σαν φιλόσοφο, απαντώντας στις επικρίσεις φιλοσόφων που κατηγόρησαν τον Gödel γι’ αυτό ακριβώς το πράγμα, ότι είχε μια ανυπόφορα μαθηματική προσέγγιση σε φιλοσοφικά ζητήματα. Το ερώτημα όμως είναι μέχρι ποιο βαθμό μπορεί να εφαρμόζει κανείς τα Μαθηματικά στην Φιλοσοφία.

   Tero

8. glenn Says:
   March 10th, 2006 at 3:07 am

   Σώθηκες με την τελευταία παράγραφό σου όπου δηλώνεις όχι και τόσο σίγουρος και προσωπικές απόψεις. Είσαι εν μέρει σωστός και εν μέρει λάθος. Π.χ. είπες

   “που νομίζουν ότι η Θεωρία Αριθμών (και οι ισομορφικές της καταστάσεις, όπως τα τυπικά συστήματα πρώτης τάξεως)”

   καθώς και

   “Ότι είναι πιο “κομψά” και “καθαρά” μαθηματικά από π.χ. τη Συνολοθεωρία ή την Πραγματική Ανάλυση.”

   Αυτά τα δύο δηλώνουν σύγχιση, πολύ λίγος χρόνος για εξηγήσεις, sorry.

   lazopolis, έχεις ακουστά τα natural independece results? Είναι ακριβώς το αντιπαράδειγμα σε κάποια που είπες.

Leave a Reply

Name (required)

Mail (will not be published) (required)

Website