x-mas special
(κωλόπαιδα)
Δεν τα πήγαινα καθόλου καλά με την άλγεβρα. Οι ταυτότητες που κάναμε στη Γ’ Γυμνασίου ήταν ήδη μεγάλο πρόβλημα, αλλά στο Λύκειο σκούρυναν απίστευτα τα πράγματα. Σε κάποια φάση αποφάσισα ότι σαφώς δε με πήγαινε το αντικείμενο, οπότε στο εξής θα ήθελα να γίνω φιλόλογος. Όταν το έμαθε ο μαθηματικός μου, είπε ότι αυτό δε γίνεται και μου έδωσε κάτι ασκήσεις να τις λύνω τα απογεύματα με τον πατέρα μου. Ο πατέρας μου προς τιμή του μπορεί να άντεξε και μισό απόγευμα. Όταν ξαναμιλήσαμε, είχα καταφέρει να λύσω μερικές από τις ασκήσεις, καθαρά από λύσσα να του τη σπάσω. Κι αυτό κάτι ξεκλείδωσε στο μυαλό μου. Δεν αντιμετώπισα για πολύ μεγάλο διάστημα κανένα άλλο πρόβλημα με την άλγεβρα, ούτε με τα μαθηματικά δέσμης, ούτε με τα ανώτερα μαθηματικά. Ήταν ένα απίστευτο σερί που έσπασε στο 5ο έτος, όταν είχα πάρει ο μαλάκας Οπτικές Ίνες και για εργασία έπρεπε μέσα στο Πάσχα να αποδείξω κάτι για μια ΜΔΕ σε οπτική ίνα με παραλληλόγραμμη διατομή. Ξεκίνησα έναν μετασχηματισμό που μετά από 20 σελίδες με είχε κάνει απλά να ξεχάσω τι σκατά ήθελα να αποδείξω κι εκεί αποφάσισα ότι είναι καλό να ξέρεις τα όριά σου, ότι τα δικά μου ήταν μάλλον καλού επιπέδου και ότι έπρεπε να κλάσω τις Οπτικές Ίνες για να περάσω Κινητά σαν άνθρωπος. Αυτό που πραγματικά γούσταρα και το κρατάω και πιστεύω επηρεάζει ακόμα και τον τρόπο που αναλύω την πραγματικότητα είναι η γραφοθεωρία.
Ωστόσο υπήρχε μια ατέλεια στις μαθηματικές μου κατακτήσεις. Λεγόταν “Ευκλείδιος Γεωμετρία”. Ποτέ δεν τα πήγα καλά στην κωλογεωμετρία. Μπορούσα να αντιληφθώ και να εκτιμήσω το φορμαλισμό της, αλλά δυστυχώς δεν μπορούσα να λύσω τίποτα. Δε μου ερχότανε ρε παιδί μου από πού θα έπρεπε να ξεκινήσω. Δεν είμαι οπτικός τύπος. Οπότε πάτωνα σταθερά. Πέρναγα μόνο από τη θεωρία. Αυτό εξηγεί και σημαντικό μέρος του μίσους μου για τον Πλάτωνα.
Ευτυχώς όλα αυτά τελείωσαν πριν λίγες εβδομάδες. Ήμουν στο αεροδρόμιο με κάτι συναδέλφους που συζητούσανε για την Ενέργεια και το Όλον με τα Κβάντα να παίζουν τον από μηχανής Θεό στην αιτιολόγηση κάθε εξωφρενικής μαλακίας που λεγόταν για την Ενέργεια και το Όλον. Και τους Αρχαίους Έλληνες. Και τον Παϊσιο. Και την Ατλαντίδα. Και την τέταρτη διάσταση. Και τον Πλάτωνα.
Εμ βέβαια!
Κάπου εκεί εξοργίστηκα εξαιρετικά με τον Πλάτωνα. Τον κύριο “δεν έχετε ιδέα από όλα αυτά γιατί δεν είστε πεφωτισμένοι”. Τον κύριο “ήταν μια φορά ένα μέρος που λεγόταν Ατλαντίδα”. Και πάνω απ’ όλα, με αστρονομική απόσταση τον κύριο “μηδείς αγεωμέτρητος εισήτω”!
Για να ξεπεράσω τη σύγχυσή μου, άρχισα να ζωγραφίζω τρίγωνα στη χαρτοπετσέτα μου (ήμασταν στο Burger King του αεροδρομίου). Παλιά μέτραγα τα κέρματά μου σε κάτι τέτοιες φάσεις. Πρέπει να είναι ενδείξεις οριακής μορφής Asperger όλα αυτά. Οπότε πρόσεξα ότι τα περισσότερα ήταν ορθογώνια. Ενδεχομένως ξέρετε ότι είναι τρομερά δύσκολο να ζωγραφίσεις ένα τυχαίο τρίγωνο. Δηλαδή ένα τρίγωνο που να μην είναι ισοσκελές, ορθογώνιο, αμβλυγώνιο, ισόπλευρο ή οτιδήποτε άλλο αξιόλογο. Κι αυτό γιατί στη Γεωμετρία άμα θέλουμε να δείξουμε κάτι που ισχύει για όλα τα τρίγωνα, πρέπει να ζωγραφίσουμε ένα τρίγωνο χωρίς κάποια ειδική ιδιότητα. Αλλιώς δεν είναι Γεωμετρία. “Είναι μπακαλική” λένε οι Γεωμέτρες. Δεν ήμουνα καλός στη Γεωμετρία. Τα τρίγωνα στη χαρτοπετσέτα μου είχαν βγει ορθογώνια.
Οπότε πήρα το κεντρικό τρίγωνο, ζωγράφισα τετράγωνα γύρω από κάθε πλευρά (και καλά με γνώμονα και διαβήτη, είναι εύκολο) και μετά ένωσα διάφορα και άρχισα να μετράω γωνίες και τσουπ! η πρώτη απόδειξη του Ευκλείδη για το θεώρημα του Πυθαγόρα! Όταν το κατάλαβα χάρηκα τόσο πολύ που το ξαναέκανα για να βεβαιωθώ ότι δεν είχα κάνει μαλακία. Ναι! Αυτό ήταν! Επιτέλους είχα (και έχω) καταλάβει τον multimedia φορμαλισμό της γεωμετρίας.
Τώρα να δεις ποιος θα εισήτω στο μπουρδέλο σου γερο-παπάρα…
ένα τρίγωνο που να μην είναι ισοσκελές, ορθογώνιο, αμβλυγώνιο, ισόπλευρο ή οτιδήποτε άλλο αξιόλογο
σκαληνό λέγεται!!(είδες ακόμα και το τυχαίο έχει όνομα)
κουλάτο ποστ
Εγώ ήξερα ότι με τα κβάντα εξηγείται η ομοιοπαθητική, άντε και το τρισυπόστατον του θεού σε στιγμές γιανναραδειου τρικυμίας εν κρανίω… Δεν ήξερα ότι τα κβάντα εξηγούν και τον Παϊσιο. Έμεινα πολύ πίσω.
Α, και αυτό το “τον Πλατωνα” - τι χυδαίο ρε παιδί μου! Πρέπει να το γράψεις όπως όλοι οι ελληνόψυχοι: “τον Πλάτων”
axaaxaxaxaaxaxaxaxaxaxax…polu kalo post!
ta oria sou einai kala, afou teleiwses polutexneia re kai malista me dafnes kai stefanous arxaioellhnikous pou o geroksouras tha kwlozhleue:-)
Ωραίο ποστ. Ξέρεις, τυχόν τρίγωνο δεν είναι το τρίγωνο που σχεδιάζεις στο χαρτί, αλλά *γίνεται* απ’ τη στιγμή που επιλέξεις να αγνοήσεις όλες τις ιδιομορφίες του πέρα απ’ το γεγονός ότι έχει τρεις πλευρές και τρεις γωνίες. Και πως τις αγνοείς; Απλά απαγορεύοντας στον εαυτό σου να χρησιμοποιήσει οτιδήποτε άλλο σε μια απόδειξη πέραν του γεγονότος ότι έχει τρεις πλευρές και τρεις γωνίες. Αυτό προκύπτει απ΄τον κανόνα της γενίκευσης του predicate calculus: Αν η wff formula φ(x) ισχύει για τυχόν x μιας L-δομής, τότε η πρόταση (Ax)(φ(x)) είναι true.
Η δυσκολία που υπάρχει με την Ευκλείδεια Γεωμετρία είναι πολύ clasic, δεν έχει να κάνει με οπτικό τύπο, και ανάγεται κυρίως σε τούτο: What to do next. Ενώ στην απόδειξη μιας αλγεβρικής σχέσης τα πράγματα είναι λίγο πολύ προφανή, στη Γεωμετρία το τρώς στη μάπα με το καλημέρα. Εξηγούμαι:
Θες να βρεις σχέση μεταξύ των Α και Β. Ε, ή θα βγει ότι Α=Β, ή θα υπολογίσεις τη διαφορά Α-Β και θα βρεις συνθήκες για να είναι 0. Και αυτή η λογική ισχύει πολύ πέρα από το real field, είναι λογική ολάκερη. Πες ας πούμε πως έχεις ένα manifold και θες να αποδείξεις κάτι με τα Jacobi fields. Παίρνεις τη δεύτερη μεταβολή και είτε αποδεικνύεις πως είναι 0, είτε όχι μηδέν οπότε αυτόματα έχεις in front of you τον Riemann tensor και έγινες και μέγας αφού τον λογάριασες απ’ το \nabla^2 J.
Με τη γεωμετρία τα πράγματα είναι διαφορετικά. Σου λένε, κάτσε απόδειξε αυτό. Και μένεις idle να κοιτάς. Τι να κάνω τώρα; Έχεις πολλές επιλογές, να φέρνεις καθέτους και παραλλήλους και κύκλους αλλά δεν ξέρεις ποια είναι η σωστή με τη έννοια ότι θα σε βγάλει απ’ το maze αργά ή γρήγορα. (Στην απόδειξη δεν υπάρχει σωστό και λάθος: είτε σε βγάζει σε κάποιο leaf του proof tree είτε όχι). Έτσι λοιπόν βρίσκεσαι μπροστά σε δίλημμα τι να χρησιμοποιήσεις. Ποιο κομμάτι του lego, απ’ τα πολλά που ταιριάζουν σ’ αυτό το βήμα, θα σε οδηγήσει στην κατασκευή του πύργου. Και στο επόμενο βήμα ξανά το ίδιο πρόβλημα. Στα automated reasoning machines λέγεται confilict και εφαρμόζονται ορισμένοι κανόνες για το conflict resolution.
Έτσι, μολονότι η Ευκλείδειος είναι Categorical αφού κάθε πρόβλημα ανάγεται στο να υπολογίσεις αν ένα πολυώνυμο ανήκει ή όχι στο ιδεώδες μιας βάσης Groebner (αλγοριθμικά επιλύσιμο), σε βάζει ωστόσο στην προβληματική του Goedel incompleteness αφού η διαδοχική τοποθέτηση των lego’s για να κάνεις την proof είναι εντελώς παρόμοια με αυτή του Post problem.
Επομένως είναι απόλυτα δικαιολογημένη η χαρά σου που απέδειξες το πυθαγόρειο.
Μαθηματικά.. Ιου! Φτου κακά..
Τα περισσότερα πράγματα στα οποία αντιδρούμε αρχικά με αυτή τη φράση είναι γαμάτα.
Όπως η αντίδρασή σου με τον Ολυμπιακό, ε; χαχαχαχα!!!
ΛΟΛ Πολύ-πολύ καλό ποστ. Είναι λίγο πασέ να βρίζεις τον Πλάτωνα πάντως. Κάποιοι δε, το κάνουν στο πιο κουλτουρέ: “Τί να μας πει ο γέρος μπροστά στον Αριστοτέλη” ότι και καλά, έχουν διαβάσει τον Αριστοτέλη. Το δε μύθο για την Ατλαντίδα τον αφηγήθηκε στο ίδιο mode με το οποίο έγραψες εσύ αυτό το ποστ. Tongue in cheek mode. Τί φταίει ο άνθρωπος αν μερικοί τον πίστεψαν; Τί θα φταις κι εσύ αν κάποιοι πιστέψουν την αφήγηση της απόδειξης του Πυθαγορίου υπό την επήρρεια των γκουρμέ Μπέργκερ Κινγκ;
Μα δε με επηρέασαν τα Μπέργκερ Κινγκ.
“Είναι λίγο πασέ να βρίζεις τον Πλάτωνα πάντως.”
Δεν τον βρίζουν. Τον νοιώθουν πιο κοντά τους από μερικούς μερικούς, ακαδημαϊκούς και μη. Δεν βρίζεις έναν αδιάφορο ξένο.
Ο “Θείος Πλάτων” ήταν απλά ένας θαυμαστής της γεωμετρίας και όχι ένας υπηρέτης της. Δεν έχουμε δα και την ενασχόλησή του με την επίλυση κάποιου πρωτότυπου γεωμετρικού προβλήματος που να απασχολούσε τους γεωμέτρες της εποχής του.
Τα πλατωνικά στερεά που φέρουν το όνομά του, ήταν ήδη γνωστά. Αυτός απλά πρότεινε με τη μεταφυσική που τον χαρακτήριζε ότι από αυτά ήταν φτιαγμένος ο κόσμος.
Στον Τίμαιο και τον Πρωταγόρα που γράφει και για την Ατλαντίδα, πρέπει να δει κανείς πόσο νεφελώδεις είναι οι αριθμητικές σχέσεις (αναλογίες) που προτείνει προκειμένου να εξηγήσει δήθεν την αρμονία του κόσμου.
Μπάι δε γουέη. Μιας και έκανες το βήμα συμφιλίωσης με τον Ευκλειδάκο, για δοκίμασε να καταπιαστείς με το εξής ζήτημα:
“Τα μόνα κανονικά (Πλατωνικά) στερεά (με έδρες κανονικά πολύγωνα) που υπάρχουν μπορούν να έχουν ΜΟΝΟ 4, 6, 8, 12 και
20 έδρες.
Εκεί θα εκτιμήσεις όλη την ομορφιά της μη αλγοριθμικής σκέψης και της φαντασίας. τα είχε άκρως ανεπτυγμένα ο Euler που έδωσε πρώτος τη σχετική απόδειξη.
Τί τύχη να βρεθεί κάποιος να ξεκλειδώσει τον νου στην μαθηματική σκέψη!!!Μακάρι να είχε συμβεί και σε εμένα!
[i]Κάπου εκεί εξοργίστηκα εξαιρετικά με τον Πλάτωνα. Τον κύριο “δεν έχετε ιδέα από όλα αυτά γιατί δεν είστε πεφωτισμένοι”. Τον κύριο “ήταν μια φορά ένα μέρος που λεγόταν Ατλαντίδα”. Και πάνω απ’ όλα, με αστρονομική απόσταση τον κύριο “μηδείς αγεωμέτρητος εισήτω”[/i] είπε ο j 95
Και τότε ο νους έτρεξε στο [i]Η Ανοιχτή Κοινωνία και οι Εχθρόι της του Πόππερ[/i]; (και το βλέμμα, εάν υπήρχε κοντά βιβλιοπωλείο)
Καλή Χρονιά
Απολαυστικό post! Συμπάσχω απόλυτα.
Αν και έχω μία υποψία ότι η “Ευκλείδιος Γεωμετρία” χρειάζεται χρόνο για να ωριμάσει μέσα στο μυαλό. Έχω να λύσω παρόμοιο πρόβλημα γύρω στα 20 χρόνια, αισθάνομαι όμως ότι τώρα θα μου ήταν πιο εύκολο να το κάνω, με λίγο ξεσκόνισμα, παρόλο που οι γνώσεις μου στο θέμα δεν έχουν αλλάξει.
(Λέμε, τώρα… Ίσως να καθόμουν και πάλι και να σκεφτόμουν “και γιατί ρε φίλε να κάνω κύκλο με κέντρο την γωνία και ακτίνα το μισό της υποτείνουσας;”…)
Χμ…. Κάπως έτσι κατάλαβε και η γυναίκα μου (αρχαιολόγος) το Πυθαγόρειο Θεώρημα. Ήμασταν στο Παρίσι σε ένα μουσείο επιστημών και είχε μπροστά της ένα τρίγωνο με τα τετράγωνα που γράφεις (μόνο που ήταν “τετράγωνα” δοχεία[*] γεμάτα νερό). Ανά τακτά χρονικά διαστήματα περιστερφόταν και είτε ήταν γεμάτα τα “μικρά” ή το “μεγάλο”.
Άντε και στην Τοπολογία τώρα.
[*] - μικρού ύψους
Στην Πειραιώς (Ίδρυμα Μείζονος Ελληνισμού) υπάρχει μια υπέροχη έκθεση για τον κόσμο των μαθηματικών. Το πράγμα με το νερό που περιγράφει ο adamo υπάρχει κι εκεί. Καθώς και πολλά άλλα, αινίγματα, διδακτικά κλπ. Μαζί εκεί είναι (ακόμη;) και μια έκθεση για τον εγκέφαλο. Καλούτσικη αλλά όχι και πολλά νέα πράγματα -τα περισσότερα γνωστά στους cognitives.
re x me ti asxoleisai an epitrepetai? algebraic geometry kaneis h akoma pio e3w?
me tis malakies sou espase kai to diko mou rekor…kratise seri
7 xronia.
twra den yparxei tipota pou na min eisai kalyteros apo mena se ayto.
ftou re pousti.